Kvasnička sa narodil 5. novembra 1927 v Krompachoch. Vyštudoval
Pedagogickú fakultu Slovenskej univerzity, išlo o vtedajší názov pre UK.
Neskôr pôsobil ako vysokoškolský pedagóg, historik a politológ.
Vo svojej pedagogickej, vedeckovýskumnej a publicistickej činnosti sa
zameriaval najmä na dejiny európskych politických teórií a politických
hnutí v 20. storočí. Ale aj na sociológiu vysokoškolských študentov.
Na UK pôsobil vo viacerých funkciách, napríklad ako vedúci katedier,
prodekan, prorektor a zástupca rektora UK. Rektorom bol v rokoch 1976 až
1985.